Lười làm lắm cứ xét từng khoản là được

Đầu tiên giải bất thứ nhất

Ở bất thứ 2 xét 2 trường hợp

- TH 1: \(m\le0\)

- TH2: \(m>0\)

   + \(\hept{\begin{cases}m-x^2>0\\x+m< 0\end{cases}}\)

   +\(\hept{\begin{cases}m-x^2< 0\\x+m>0\end{cases}}\)

* Điều kiện cần : Giả sử hệ đã cho có nghiệm duy nhất là (x;y), khi đó, dễ thấy (y;x) cũng là nghiệm của hệ. Do tính duy nhất suy ra y = x, thay vào (1) ta có :

\(x^2+x^2=m\left(x-1\right)\Leftrightarrow2x^2-mx+m=0\left(3\right)\)

Vì (3) có nghiệm kép nên \(\Delta=m^2-8m=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}m=0\\m=8\end{array}\right.\)

* Điều kiện đủ :

+ Khi m = 0 hệ phương trình đã cho trở thành 

\(\begin{cases}xy+x^2=0\\xy+y^2=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}x\left(y+x\right)=0\\y\left(x+y\right)=0\end{cases}\)            (4)

Dễ thấy (1;-1) và (2;-2) là nghiệm (4), vậy m=0 không thỏa mãn đề bài 

+)khi m=8 hệ phương trình đã trở thành \(\begin{cases}xy+x^2=8y-8\left(5\right)\\xy+y^2=8x-8\left(6\right)\end{cases}\)

lấy (5) trừ (6) được 

\(x^2-y^2=8\left(y-x\right)\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(x+y+8\right)=0\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=y\\y=-8-x\end{array}\right.\)

khi y=x thay vào (5) ta được \(2x^2-8x+8=0\Leftrightarrow x=2\Rightarrow y=2\)khi y=-8-x, thay vào (5) ta được

\(x\left(-8-x\right)+x^2=8\left(-8-x\right)-8\Leftrightarrow-8x=-64-8x-8\)(VÔ NGHIỆM

kết luận : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m=8

hệ :\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(m-3\right)x\le m+1\\\left(2m+1\right)\le2m\end{cases}\)

suy ra hệ này có nghiệm duy nhất:

\(\Leftrightarrow\frac{m+1}{m-3}=\frac{2m}{2m+1}\Leftrightarrow\)\(\left(m+1\right)\left(2m+1\right)=2m\left(m-3\right)\)

                      \(\Leftrightarrow2m^2+m+2m+1=2m^2-6m\)

                      \(\Leftrightarrow m=-\frac{1}{9}\in\left(-\frac{1}{2};3\right)\)

nếu \(m=3\) thì hệ     \(\Leftrightarrow\begin{cases}0\le4\\7x\le6\end{cases}\)có vô số nghiệm

nếu \(m=-\frac{1}{2}\) thì hệ \(\Leftrightarrow\begin{cases}-\frac{7}{2}x\le\frac{1}{2}\\0\le-1\end{cases}\) vô nghiệm

vậy \(m=-\frac{1}{9}\) là giá trị cần tìm

hệ :⇔{(m−3)x≤m+1(2m+1)≤2m⇔{(m−3)x≤m+1(2m+1)≤2m

suy ra hệ này có nghiệm duy nhất:

⇔m+1m−3=2m2m+1⇔⇔m+1m−3=2m2m+1⇔(m+1)(2m+1)=2m(m−3)(m+1)(2m+1)=2m(m−3)

                      ⇔2m2+m+2m+1=2m2−6m⇔2m2+m+2m+1=2m2−6m

                      ⇔m=−19∈(−12;3)⇔m=−19∈(−12;3)

nếu m=3m=3 thì hệ     ⇔{0≤47x≤6⇔{0≤47x≤6có vô số nghiệm

nếu m=−12m=−12 thì hệ ⇔{−72x≤120≤−1⇔{−72x≤120≤−1 vô nghiệm

vậy m=−19m=−19 là giá trị cần tìm

\(\begin{cases}x^2+7x-8\le0\\a^2x+1>3+\left(3a-2\right)x\end{cases}\) (1)

\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x^2+7x-8\le0\\\left(a^2-3a+2\right)x>2\end{cases}\)

ta đặt 

\(x^2+7x-8\le0\)  (a)

\(\left(a^2-3a+2\right)x>2\) (b)

(1) Vô nghiệm khi và chỉ khi T(a)\(\cap\)T(b) = \(\varnothing\)

Dễ thấy T(a) = \(\left[-8;1\right]\). Đặt m:=\(a^2-3a+2\), xét các trường hợp sau : 

- Nếu a=1 hoặc a=2 thì 

\(\left(a^2-3a+2\right)x>2\) \(\Leftrightarrow\) 0.x > 2 \(\Rightarrow\) T ( b) = \(\varnothing\) nên (1) vô nghiệm

- Nếu \(a\in\left(-\infty;1\right)\cup\left(2;+\infty\right):=\)(*) thì m >0 nên T(b) có nghiệm \(x>\frac{2}{m}\) Ta có :

T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2}{m}\ge1\)

                             \(\Leftrightarrow\)  \(2\ge m=a^2-3a+2\) ( do m>0 trong (*)

                            \(\Leftrightarrow\) \(a^2-3a\le0\)  \(\Leftrightarrow\)  \(0\le a\le3\)

Kết hợp với điều kiện \(a\in\)(*) được \(0\le a<1\) hoặc 2<a\(\le\)3

- Nếu \(a\in\)(1;2) thì m<0 nên T(b) có nghiệm \(x<\frac{2}{m}\) Ta có T(a)\(\cap\) T(b) = \(\varnothing\)   \(\Leftrightarrow\)  \(\frac{2}{m}\le-8\)

\(\Leftrightarrow\) \(2\ge-8m=-8\left(a^2-3a+2\right)\) (do m<0 trong (1;2) 

\(\Leftrightarrow\) \(4a^2-12a+9\ge0\)  \(\Leftrightarrow\) \(\left(2a-3\right)^2\ge0\) luôn đúng

Vậy với  \(a\in\)(1;2) thì (1) vô nghiệm. Tóm lại ta được 0\(\le a\le\)3 là các giá trị cần tìm